Артист умер в возрасте 82 лет. Официальной причиной смерти была названа сердечная недостаточность. Андрей в последние годы передвигался с палочкой, очевидно, испытывая проблемы со спиной или суставами. Однако всячески отказывался от посторонней помощи. Целью своей жизни для него была забота о своей любимой супруге, Анастасии Вознесенской. Они были женаты более 50 лет, и все эти годы артист трогательно заботился о своей супруге.
У него были поклонницы, но никогда не изменял жене, говоря, что она самая лучшая и никто другой ему не нужен. У Андрей Мягкова была машина, иномарка, на которой он возил свою супругу на дачу и по делам, на работу, в поликлинику. Машина была большим подспорьем и сильно облегчала жизнь пожилой пары. Однако незадолго до смерти Мягкова ее угнали.
Артист обратился в полицию, однако там ничем не смогли помочь. Андрей Мягков лишился возможности ухаживать за своей женой, что очень расстроило его. Близкие люди говорят, что этот стресс мог привести к ухудшению состояния здоровья и спровоцировать сердечный приступ, от которого Андрей и умер.
А еще Андрей Мягков очень переживал из-за современного кинематографа. Его приглашали сниматься в разных фильмах, но он не соглашался, так как не видел в современных фильмах духовности. Артиста огорчала пустота современных фильмов, в них не стало ничего доброго — один экшен и насилие. За последние 10 лет артист не выбрал для себя ни одного фильма, в котором хотел бы сняться.